Kịch bản

Tích phân từng phần là một quá trình suy nghiệm hơn là một quá trình máy móc thuần tuý để tính toán tích phân; cho một hàm đơn để tích phân, các chiến lược điển hình là cẩn thận tách nó thành tích của hai hàm u(x)v(x) sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với tích phân gốc. Công thức sau minh họa kịch bản trường hợp tốt nhất:

∫ u v   d x = u ∫ v   d x − ∫ ( u ′ ∫ v   d x )   d x . {\displaystyle \int uv\ dx=u\int v\ dx-\int \left(u'\int v\ dx\right)\ dx.}

Lưu ý rằng ở vế phải, u được lấy đạo hàm và v được lấy tích phân; do đó sẽ hữu ích khi chọn u là một hàm có thể giản hóa khi lấy đạo hàm, hoặc khi chọn v là hàm đơn giản hóa được khi được lấy tích phân. Xét ví dụ đơn giản sau:

∫ ln ⁡ ( x ) x 2   d x   . {\displaystyle {\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx\ .}}

Do đạo hàm của ln(x) là 1/x, ta chọn (ln(x)) là u; do nguyên hàm của1/x2 là -1/x, chọn 1/x2dx làm dv. Từ đó ta có:

∫ ln ⁡ ( x ) x 2   d x = − ln ⁡ ( x ) x − ∫ ( 1 x ) ( − 1 x )   d x   . {\displaystyle {\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\ dx\ .}}

Nguyên hàm của − 1 x 2 {\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}}  có thể được tìm thấy bằng quy tắc luỹ thừa và bằng 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} .

Ngoài ra, người ta có thể chọn u và v sao cho tích u' (∫v dx) triệt tiêu nhau. Ví dụ, giả sử ta muốn tích phân:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | )   d x . {\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx.}

Nếu chúng ta chọn u(x) = ln(|sin(x)|) và v(x) = sec2x, thì u được lấy vi phân tới 1/ tan x bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi và v được lấy tích phân tan x; do đó công thức cho:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | )   d x = tan ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | ) − ∫ tan ⁡ ( x ) ⋅ 1 tan ⁡ ( x ) d x   . ∫ sec 2 ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | )   d x = tan ⁡ ( x ) ⋅ ln ⁡ ( | sin ⁡ ( x ) | ) − ∫ tan ⁡ ( x ) ⋅ 1 tan ⁡ ( x ) d x   . {\displaystyle {\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}dx\ .}{\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}dx\ .}}

Hàm lấy tích phân trở thành 1 và có nguyên hàm là x. Tìm ra sự kết hợp co thể giản hóa thường cần thử sai.

Trong một số trường hợp, không đảm bảo rằng tích phân tạo bởi tích phân từng phần sẽ có dạng đơn giản; Ví dụ, trong giải tích số, ta có thể chấp nhận khi chỉ tạo ra một số sai sót nhỏ. Một số kỹ thuật đặc biệt khác được chứng minh trong các ví dụ dưới đây.

Hàm đa thức và hàm lượng giác

Để tính

I = ∫ x cos ⁡ ( x )   d x {\displaystyle I=\int x\cos(x)\ dx\,}

đặt:

u = x   ⇒   d u = d x {\displaystyle u=x\ \Rightarrow \ du=dx} d v = cos ⁡ ( x )   d x   ⇒   v = ∫ cos ⁡ ( x )   d x = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle dv=\cos(x)\ dx\ \Rightarrow \ v=\int \cos(x)\ dx=\sin(x)}

thì:

∫ x cos ⁡ ( x )   d x = ∫ u   d v = u ⋅ v − ∫ v d u = x sin ⁡ ( x ) − ∫ sin ⁡ ( x )   d x = x sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) + C , {\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\ dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\ dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}\!}

với C là hằng số tích phân.

Đối với bậc cao hơn của x trong dạng

∫ x n e x   d x ,   ∫ x n sin ⁡ ( x )   d x ,   ∫ x n cos ⁡ ( x )   d x {\displaystyle \int x^{n}e^{x}\ dx,\ \int x^{n}\sin(x)\ dx,\ \int x^{n}\cos(x)\ dx\,}

sử dụng nhiều lần tích phân từng phần có thể tính các tích phân thuộc loại này; mỗi lần sử dụng sẽ giảm một bậc của x.

Hàm mũ và hàm lượng giác

Một ví dụ thường dùng để tính tích phân từng phần là

I = ∫ e x cos ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\ dx.}

Ở đây, ta thực hiện tích phân từng phần hai lần. Đầu tiên đặt

u = cos ⁡ ( x )   ⇒   d u = − sin ⁡ ( x )   d x {\displaystyle u=\cos(x)\ \Rightarrow \ du=-\sin(x)\ dx} d v = e x   d x   ⇒   v = ∫ e x   d x = e x {\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}}

thì:

∫ e x cos ⁡ ( x )   d x = e x cos ⁡ ( x ) + ∫ e x sin ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\ dx.}

Giờ, để tính tích phân còn lại, chúng ta sử dụng tích phân từng phần một lần nữa, với:

u = sin ⁡ ( x )   ⇒   d u = cos ⁡ ( x )   d x {\displaystyle u=\sin(x)\ \Rightarrow \ du=\cos(x)\ dx} d v = e x   d x   ⇒   v = ∫ e x   d x = e x . {\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}.}

thì:

∫ e x sin ⁡ ( x )   d x = e x sin ⁡ ( x ) − ∫ e x cos ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\ dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}

Kết hợp lại,

∫ e x cos ⁡ ( x )   d x = e x cos ⁡ ( x ) + e x sin ⁡ ( x ) − ∫ e x cos ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}

Tích phân giống nhau xuất hiện trên cả hai vế của phương trình này. Thêm tích phân cần tính vào 2 vế, ta có

2 ∫ e x cos ⁡ ( x )   d x = e x ( sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) ) + C {\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}+C}

mà trở thành:

∫ e x cos ⁡ ( x )   d x = e x ( sin ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( x ) ) 2 + C ′ {\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx={\frac {e^{x}{\bigl (}\sin(x)+\cos(x){\bigr )}}{2}}+C'}

trong đó C (và C' = C/2) là các hằng số tích phân.

Phương pháp tương tự được sử dụng để tìm tích phân của hàm sec bậc ba.

Các hàm được nhân với phần tử đơn vị

Hai ví dụ nổi tiếng khác khi áp dụng tích phân từng phần cho một hàm được biểu diễn là tích của 1 và chính nó. Có thể tính tích phân này nếu biết đạo hàm của hàm đó và tích phân của đạo hàm này nhân x.

Ví dụ đầu tiên là ∫ ln(x) dx. Chúng ta viết tích phân này như:

I = ∫ ln ⁡ ( x ) ⋅ 1   d x   . {\displaystyle {\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\ dx\ .}}

Đặt:

u = ln ⁡ ( x )   ⇒   d u = d x x {\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}} d v = d x   ⇒   v = x {\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}

thì:

∫ ln ⁡ ( x )   d x = x ln ⁡ ( x ) − ∫ x x   d x = x ln ⁡ ( x ) − ∫ 1   d x = x ln ⁡ ( x ) − x + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\ dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\ dx\\&=x\ln(x)-\int 1\ dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}

trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ thứ hai là hàm tan nghịch arctan(x):

I = ∫ arctan ⁡ ( x )   d x . {\displaystyle I=\int \arctan(x)\ dx.}

Viết lại

∫ arctan ⁡ ( x ) ⋅ 1   d x . {\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\ dx.}

Đặt:

u = arctan ⁡ ( x )   ⇒   d u = d x 1 + x 2 {\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}} d v = d x   ⇒   v = x {\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}

thì

∫ arctan ⁡ ( x )   d x = x ⋅ arctan ⁡ ( x ) − ∫ x 1 + x 2   d x = x ⋅ arctan ⁡ ( x ) − ln ⁡ ( 1 + x 2 ) 2 + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\ dx&=x\cdot \arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\ dx\\[8pt]&=x\cdot \arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}

sử dụng kết hợp giữa phương pháp quy tắc chuỗi đảo và điều kiện tích phân của hàm logarit tự nhiên.

Quy tắc LIATE